求证AF=1 2FC

证明：E为AB中点,AE=BE=AB/2AF=AD/4因为ABCD为正方形,AB=AD所以BE：AF=2：1在RT△BCE和RT△AEF中∠B=∠A=90BE：AF=BC：AE所以△BCE∽△AEF,

证明：过点D做直线DQ平行于AC交于直线BF上一点Q因为AE=DE,对顶角相等,所以三角形AFE,DQE全等所以AF=DQ因为CD=BD所以DQ=0.5CF所以AF=0.5CF

连接EA,EC因为ABD和BCD均为直角三角形,E为斜边上的中点,所以AE=DE=EB=EC,（直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）所以AEC为等腰三角形又因为F为AC边上中点,EF是等腰三角形A

过D做DP平行线,交AC于P因为：E,D分别为AD,BC中点所以：F,P分别为AP,FC中点所以：F,P为AC三等份点所以：AF=1/2FC

在菱形ABCD中AB=AD=BC=CD角ABC=角ADC因为AE=AF所以AE-AB=AF-AD即BE=DF因为点B在AE上点D在AF上所以角EBC=角CDF所以△EBC全等于△FDC(SAS)所以E

连接AE、FD因为AB=CD,BE=FC又因为BE//FC,所以

过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G因为AG与BC平行所以三角形AEG与三角形BED全等所以AG=BD=1/2BC又有三角形AFG与三角形BFC相似而且AG:BC=1:2所以FC=2AF

∵AD=CFCD=CD∴AC=DF又∵AB=EFBC=ED∴△ABC≌△DEF(SSS)∴角ACB=角EDF∴BC∥DE

作DH平行AF,三角形AEF与三角形EDH全等（角EAF=角EDH,对顶角相等,AE等于ED）所以EF等于EH,在三角形BFC中,BD等于DC,DH平行FC,所以BH等于HF.设EF长度为x,则EH也

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD平行于BC,又因为AF平行于CE,所以四边形AECF是平行四边形,所以AE=FC

AF/FC=AD/DB就知道DF平行BCAD/DB=CE/EB就知道DE平行AC这样CFDE就是平行四边形加上CF=CE就是菱形了

证明：∵ABCD是四边形∴∠BAD+∠B+∠ACD+∠D=360∵∠B=∠D=90∴∠BAD+∠ACD=180∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD∴∠BAE=0.5∠BAD,∠BCF=0.5∠ACD∴

取CF中点G,连接D,G则DG是△BCF中位线,所以DG‖BF,即DG‖EF又因为E是AD中点,所以EF是△ADG中位线所以F是AG中点所以AF=FG又因为G是CF中点所以AF=FC/2

证明：连接DF、EF∵AD=DB,AE=EC,BF=FC∴D、F、E分别是AB、BC、AC的中点DF、EF是△ABC的中位线.∴DF‖AC,EF‖AB∴四边形ADFE是平行四边形（两组对边分别平行的四

AD=DB,BF=FC,则DF是△ABC的中位线,∴DF‖AC.AE=EC,BF=FC.则EF是△ACB的中位线,∴EF‖AB.所以四边形ADFE是平行四边形,∴AF、DE互相平分.

因为：AB=CDAE=DFEB⊥ADFC⊥AD所以：BE=CF因为：EB⊥ADFC⊥ADBE=CF所以：EF//BC因为：BE=CFAB=CDAE=DFEB⊥ADFC⊥AD所以：∠AEB=∠DFC因为

过D作DP平行AC,交BF于点PDP/CF=1/3=DP/AFMP/MF=1/3BP/PF=1/2设MP=XPF=3XPB=2XBM/BF=1/2同理过E作EO平行AC,交BF于点OEO/CF=2/3

因为AE=EC,DE=EF,所以点E平分AC,DF,又因为点E是四边形ADCF对角线交点,所以四边形ADCF是平行四边形,所以AD平行于CF,即DB平行于FCF,又因为DE平行于BC,即DF平行于BC

证：因为AB=AC,所以角ABC等于角ACB;又因为BC=CD,CE垂直于BD,易证角EBC=角EDC.角ABC等于角ACB,角EBC=角EDC,所以三角形ABD相似于三角形FCB.所以FC比AB=B

证明：连接PA、PB、PC根据直角三角形的性质AD^2+BE^2+FC^2=PA^2-PD^2+PB^2-PE^2+PC^2-PF^2=PA^2+PB^2+PC^2-PD^2-PE^2-PF^2BD^